Single Index Model

William Sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut dengan model indeks tunggal (single-index model). Model ini dapat digunakan untuk menyederhankan perhitungan. disamping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return ekspektasi dan resiko portofolio.

Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat diamati bahwa kebanyakan saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Kebalikannya juga benar, yaitu jika indeks harga saham turun, kebanyakan saham mengalami penurunan harga. Hal ini menyarankan bahwa return-return sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan-perubahan nilai pasar. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan :

Ri = ai + βi.Rm

Keterangan :

Ri = return sekuritas i,

ai = adalah bagian dari keuntungan saham i yang tidak dipengaruhi oleh perubahan pasar. Variabel ini merupakan variable yang acak

βi = adalah beta, yaitu parameter yang mengukur perubahan yang diharapkan pada Ri jika terjadi perubahan pada Rm.

Rm = adalah tingkat keuntungan indeks pasar. Variable ini merupakan variable yang acak.

Parameter ai menunjukkan komponen tingkat keuntungan yang tidak terpengaruh oleh perubahan indeks pasar. Parameter ini bisa dipecah menjadi dua yaitu αi (alpha) yang menunjukkan nilai pengharapan dari ai dan ei yang menunjukkan elemen acak dari ai. Dengan demikian maka :

ai = αi + ei

Subtitusikan persamaan diatas kedalam rumus sebelumnya, maka didapatkan persamaan model indeks tunggal sebagi berikut :

Ri = αi + βi . RM + ei

Keterangan :

αi = nilai ekspektasi dari return sekuritas yang independen terhadap return pasar,

ei = kesalahan residu yang merupakan variabel acak dengan nilai ekspektasinya sama

dengan nol atau E (ei)=0.

Persamaan tersebut hanyalah memecah tingkat keuntungan suatu saham menjadi dua bagian, yaitu yang independen dari perubahan pasar dan yang dipengaruhi pasar. βi menunjukkan kepekaan tingkat keuntungan suatu saham terhadap tingkat keuntungan indeks pasar. βi sebesar 2 menunjukkan bahwa kalau terjadi kenaikan (penurunan) tingkat keuntungan indeks pasar sebesar 10% maka akan terjadi kenaikan (penurunan) Ri sebesar 20%.

Bentuk return ekspektasi (expected return). Return ekspektasi dari model ini dapat diderivasi dari model sebagai berikut :

E(Ri)= E (αi + βi . RM + ei)

Dari properti ke-2 diketahui bahwa nilai ekspektasi dari suatu konstanta adalah bernilai konstanta itu sendiri, mak E(αi) = αi dan (βi.RM) = βi.E(RM) dan secara konstruktif nilai E(ei) = 0, maka return ekspektasi model indeks tunggal, deviasi tingkat keuntungan dan covariance dapat dinyatakan sebagai :

1. Tingkat keuntungan yang diharapkan :

E(Ri) = αi + βi . E(RM)

2. Variance tingkat keuntungan :

σi2 = βi2σm2 + σei2

3. Covariance tingkat keuntungan sekuritas i dan j :

σij = βiβjσm2